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イッセイエッセイ

1127号 ニ元一次の不定方程式の整数解を求める(互除法) 92x+197y=1の整数解xとy(その3)

2016年03月19日(土)

q5.「互除法」をギリシア人はどういうきっかけで思いついたか。

 互除法はもともと「音楽論」の一方法として発生し、後に「数論」に応用されたものである。
 古代ギリシアの数学者ピタゴラスは、鍛冶屋の槌の音が心地よく響きあうのを聴き、一弦琴を使って音の高さと弦の長さの関係を調べて、協和音の数比を発見したと言われる。
 まず張られた弦全体の出す音を聞き、その後、この音に対する協和音を探した。その手順は次のとおり。[図1]
① ある弦(A)に対して、協和音を発するより短い弦の長さ(B)を見つける。
② 短い弦(B)を単位として、長い弦(A)から短い弦(B)を引くと差(R)が残る。
③ 今度は差(R)を単位として、短い弦(B)から差(R)が何回引けるか試した。
 すると、最も調和する音が出たときは1回、2番目によく調和する音が出たときは2回だった。
 こうして、協和音を出す弦の長さの数比が≪2:1≫や≪3:2≫であることを発見した。

 ここでは、2つの弦の長さを交互に差し引くことによってその数比を求めているので、この方法は古くは「交互差し引き法」と呼ばれていた。そして、この方法が後に数論に応用されて、2数の最大公約数を求める方法として定着することになる。
 たとえば、8と12の最大公約数であればすぐに4とわかるが、数が大きい2数の最大公約数となるとそう簡単ではない。このとき、同様に交互差し引き法が用いられる。[図2]
① 2つの数221、323がある。
② 小さい数(221)を単位として、大きい数(323)から引くと差(102)が残る。
③ この差(102)を単位として、小さい数(221)から何回引けるか試す。すると2回引き去られて、17が残る。
 この17はちょうど102を割り切るので、この数17が221と323を割り切る最大公約数となる。


 この方法は、引き算をする代わりに割り算を使って次のように計算することもできる。

 したがって、この方法は現在では「互除法」と呼ばれ、ユークリッドの『原論』でもこの方法が用いられたことから、「ユークリッドの方式」とも呼ばれる。

(2016.2.28~3.18 記)